PITAGORA

(ap. 580 – ap. 500 î.e.n.)

 
Pitagora a avut mai mult noroc decât alţi savanţi ai lumii antice. Despre el s-au păstrat o mulţime de legende şi mituri, adevărate sau ba. De numele lui se leagă mari descoperiri din domeniul matematicii, şi în primul rând – teorema care poartă numele lui. Însă această teoremă n-a fost descoperită de Pitagora. Ea a fost cunoscută pentru cazuri particulare în China Antică, Babilonia, Egipt. Unii consideră, că Pitagora a fost primul care a dat o demonstraţie riguroasă a acestei teoreme, alţii nu recunosc nici meritul acesta.
Probabil însă, nu există o altă teoremă care ar avea atâtea comparaţii. În Franţa şi unele regiuni ale Germaniei în evul mediu teorema lui Pitagora se numea "puntea măgarilor". La matematicienii Orientului ea era cunoscută sub denumirea de "teorema miresei". Istoria este următoare: în unele texte – "Elemente" lui Euclides – această teoremă se numea "teorema nimfei" pentru asemănarea desenului cu albină sau fluture, ceea ce în limba greacă se numea "nimfa". Dar unele zeiţe şi în general femeile tinere şi miresele erau cunoscute, la greci, ca nimfe. La traducerea din limba greacă în cea arabă însă nu s-a atras atenţie la desen, şi "nimfa" s-a transformat din "fluture" în "mireasă".

Se spune, desigur, fiind numai legendă, că Pitagora, după ce a demonstrat celebra teoremă, a mulţumit zeii, sacrificând 100 de boi. Dar există şi anumite contradicţii, deoarece Pythagoras a fost un vegetarian şi adversar neîmpăcat al tăierii animalelor şi vărsării de sânge.

Pentru noi Pythagoras este un matematician, iar în antichitate n-a fost la fel. Herodot îl numeşte pe Pythagoras "învăţătorul înţelepciunii", dar indică că adepţii lui nu înmormântau morţii în îmbrăcămintele de lână. Această seamănă mai mult cu religia, decât cu matematica.

Pentru contemporanii săi Pythagoras a fost în primul rând un profet religios despre care spuneau, că are o coastă de aur sau apare simultan în două localităţi diferite. Unele texte îl prezintă ca semizeu, aşa cum el însuşi s-ar fi imaginat: fiul lui Hermes. Pythagoras a considerat că există trei feluri de fiinţe – divinităţi, oameni obişnuiţi şi "fiinţe în felul lui Pythagoras". În literatură pythagorienii se reprezentau mai mult ca vegetarieni pretenţioşi şi superstiţioşi, decât ca matematicienii.

Despre viaţa lui Pythagoras multă vreme informaţiile au fost contradictorii, fiind considerat când ca un personaj legendar, când ca omul istoric.

Se ştie că s-a născut în prima perioadă a secolului al VI-lea (ap.580) şi că ar fi trăit până la anul 500. Se zice că ar fi fost de "neam berber", etrusc din Italia, născut pe insula Samos. Pythagoras a cunoscut îndeaproape cultura grecească a timpului său, 22 de ani a călătorit în Egipt (unde ar fi aflat că sufletul este nemuritor), 12 ani se ocupa cu ştiinţe în Mesopotamia. Probabil că, anume de la preoţii şi magii Babilonului a preluat misticismul numărului, care a fost transformat de către Pythagoras în filosofie proprie. L-ar fi cunoscut pe Zarathustra, concepţia acestuia influenţându-l mai ales în expunerea viziunii despre contrarii şi rolul lor. Reîntorcându-se la Samos, Pythagoras a înfiinţat o şcoală, mai exact a strâns în jurul lui oameni care îi împărtăşeau ideile, i-a organizat, practicând un învăţământ specific închis, cu reguli draconice, asemănător mai degrabă unei secte.

Şcoala lui Pythagoras a devenit un "ordin" cu cicluri de iniţiere, reguli şi norme de comportare, în care intrarea era tot atât de dificilă ca şi ieşirea. Erau trei reguli forte ale acestui "ordin" – ascultarea, tăcerea şi supunerea. Să observăm, că nici un text nu vorbeşte despre suprimarea gândirii novicelui, ci doar de supunere, tăcere şi ascultare, iar aceasta pentru o perioadă de 2-5 ani. Abia după ce învăţau "lucrurile cele mai grele – tăcerea şi ascultarea" – abia atunci unii puteau să vorbească, să întrebe şi să-şi spună părerile lor. O altă regulă a şcolii era păstrarea secretului. Această regulă era cu mult mai aspră decât cele dinainte. Nerespectarea ei putându-se penaliza, în anumite cazuri, chiar cu pierderea vieţii. Regula a avut efect negativ, pentru că obligativitatea secretului n-a făcut din doctrină o parte componentă a culturii în circulaţie.

Pythagorienii se trezeau împreună cu răsăritul de soare, cântau poeziile, acompaniind la liră, apoi făceau gimnastică, se ocupau de teoria muzicii, filosofie, matematică, astronomie şi alte ştiinţe. Deseori studiile se petreceau la natură sub formă de discuţie. Între primii ucenici ai şcolii au fost şi femei, inclusiv şi Teano – soţia lui Pythagoras.

Dar ideologia aristocratică şi net antidemocratică a şcolii pythagoriene intra în contradicţii cu democraţia antică, care domina în acest timp la Samos. Părăsind insula, Pythagoras şi adepţii săi şi-au găsit refugiul la Crotona, unde pentru un timp au trăit în admiraţia oamenilor, fiind apreciaţi pentru comportarea lor.
În pythagorism s-au format de timpuriu două orientări care nu aveau să fie unitare, dar cu timpul, ele vor fi chiar profund divergente "asumaticii" şi "matematicii". În prima orientare vor prevede aspectele de ordin etic şi politic, pedagogic-educativ, iar în cea de-a doua – cercetările din domeniul mai ales al geometriei. Filosofia lui Pythagoras cuprinde principiile, valori ştiinţifice propriu zise, o viziune despre om şi educaţia omului, ideile social-politice. Pythagorismul a asumat numărul ca principiu, a dat unei valori ştiinţifice semnificaţia universală (performanţa repetată de atunci şi de alte sisteme filosofice). Omagiul de număr se datorează observaţiilor asupra fenomenelor lumii înconjurătoare, care au fost însoţite de speculaţii mistice.

Ocupându-se de armonie, pythagorienii au observat că deosebirile calitative ale sunetelor sunt cauzate de deosebiri cantitative ale coardelor sau flautelor. Astfel un acord armonic în sunetul a 3 coarde se obţine în cazul, când lungimile lor se raportă ca 3:4:6. Acelaşi raport a fost observat şi în multe alte cazuri, de exemplu, raportul între feţe, vârfuri şi muchii ai unui cub este 6:8:12.
Ocupându-se de întrebarea despre acoperirea suprafeţei plane cu poligoane regulate de acelaşi fel, pythagorienii au aflat, că sunt posibile numai trei cazuri de aşa acoperiri: în jurul unui punct al planului pot fi aranjate sau 6 triunghiuri regulate, sau 4 pătrate, sau 3 hexagoane regulate.

Numerele de poligoane în aceste trei cazuri se află în raport de 6:4:3, iar raportul numerelor de muchii ale poligoanelor este 3:4:6.

Pe baza unor observaţii de aşa natură în şcoala lui Pythagoras a apărut credinţa, că toate fenomenele universului sunt supuse numerelor întregi şi relaţiilor între acestea. De fapt, nu atât matematicul capătă transfigurare filosofică în pythagorism, ci geometricul. Punctul, fiind scos din situaţia lui de construcţie geometrică se transformă în număr, iar numai apoi în marea realitate a lumii.
Pentru Pythagoras principiul lumii este număr, având punctul ca expresia corporală a lui. Tot ceea ce este, este număr. Indiferent este vorba de un corp oarecare, de un lucru, de o structură a universului ori de o melodie, de suflet, de iubire, de minte, toate vin din număr şi toate sunt numere. Număr este, deci, esenţa lumii şi realitatea ei actuală, originea şi cauza ei, dar nu este o "idee" sau o "abstracţie". Universul e rezultatul "devenirii" numărului.
Deogene Laërtios nota că, pentru pythagorieni "principiul tuturor lucrurilor este unitatea, dar în această unitate provine doimea nedefinită, servind ca suport material al unităţii, care este cauza". Din unitate şi doime, continuă Deogene Laërtios, se extrag numerele, din numere – punctele, din puncte – liniile, din linii – figurile plane, din figurile plane – figurile solide.
Astfel educaţia în matematică şi prin matematică avea destinaţia precisă a adepţilor pythagorismului. Cercetând numerele, şcoala lui Pythagoras a pus începuturile teoriei numerelor. Aici însă, ca şi în toată Grecia Antică, practica calculelor nu se considera un lucru demn pentru şcolile filosofice, ci o chestiune zilnică a oamenilor de rând. De aceea pythagorienii studiau numai proprietăţile numerelor, dar nu calculul practic.
Numărul pentru pythagorieni reprezenta o colecţie de unităţi, deci pot fi numai numere întregi pozitive. Unităţile care alcătuiesc numărul au fost considerate indivizibile şi au fost reprezentate prin puncte, situate în felul unor figuri geometrice regulate. În aşa fel pythagorienii au obţinut şiruri de numere "triunghiulare", "pătratice", "pentagonice". Fiecare şir reprezenta în sine sumele consecutive ale unei progresii aritmetice.
 

Pe desen sunt arătate numerele "triunghiulare" 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10; reprezentare generală a lor fiind:

.

Pe desenul precedent sunt arătate numerele "pătratice" 1, 1+3=4, 1+3+5=9; formă generală a lor:
 

1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n².

 

Numerele "pentagonice" 1, 1+4=5, 1+4+7=12, arătate pe desenul de mai sus, au următoare reprezentare generală:

.

La fel, pythagorienii au evidenţiat numerele "cubice" 1, 8, 27, ... ; numerele "piramidale" – sumele celor "triunghiulare":

Studiind proprietăţile numerelor, pythagorienii primii au atras atenţie la legile de divizibilitate. Ei le-au împărţit pe toate în pare şi impare, în simple şi compuse. Numerele compuse, ce se descompun în produs de doi factori, pythagorienii le numeau "numerele plane" şi le reprezentau sub formă de dreptunghiuri. Iar numerele compuse, ce se descompun în produs de trei factori, – "numerele corporale", şi le reprezentau sub formă de paralelipipede. Numerele simple, ce nu se descompun în produs de factori, au fost numite "numere liniare". Pythagorienii au creat învăţătură despre numerele pare şi impare, care din poziţiile contemporane poate fi considerată ca teoria devizibilităţii prin 2.

Sunt cunoscute unele probleme teoretice cu care se ocupau pythagorienii. Ei au studiat ecuaţia

x2 + y2 = z2,

soluţiile întregi ale careia încă de atunci se numesc "triplete pythagorice", şi au aflat o infinitate de aşa triplete de forma

Pythagorienii se ocupau de problema găsirii numerelor perfecte, care sunt egale cu suma tuturor divizorilor sale (cu excepţia a însăşi numărului) ca, de exemplu, 6=1+2+3 sau 28=1+2+4+7+14. Numerele perfecte nu-s prea multe. Între numerele uniforme – numai 6, între numere compuse din două, trei şi patru cifre numai 28, 496 şi 8128 respectiv. Toate aceste sunt pare şi au formula 2 p-1(2 p-1), unde p, 2 p-1 sunt numere prime. Până în prezent nu se ştie nici un număr perfect impar şi, în genere, dacă aceste există.

Două numere, care posedă proprietatea că suma divizorilor unuia să fie egală cu suma divizorilor altuia, se numesc prietene. Se afirmă, că Pythagoras la întrebarea cine este prietenul a răspuns: "Acela care este alt eu, ca numerele 220 şi 284". Alte numere prietene pythagorienii n-au ştiut.

Cu ajutorul calculatorului electronic într-o universitate din S.U.A. au fost cercetate toate numerele până la milion. În rezultat s-a obţinut colecţia din 42 de perechi de numere prietene:

ş.a.m.d.

Există şi perechi de numere prietene impare:

ş.a.

Însă formula generală pentru acestea nu este cunoscută şi până azi, se ştie foarte puţin şi despre proprietăţile lor.

Magia numerelor cu fascinaţia ei a generat speculaţii frumoase. Corpul este numărul 210, focul numărul 11, aerul numărul 13, apa numărul 9. Calitatea şi culoarea ar fi exprimate cu cifra 5; 6 este potenţa creatoare de viaţă; 7 semnifică inteligenţa, lumina primordială, principiul vieţii, sănătatea, ciclurile sau bioritmurile; 8 (octava) semnifică dragostea, prietenia, chibzuinţa, gândirea. Universul este analogat cu numărul 10, iar 10 reprezintă perfecţiunea, echivalenţă cu tetraktys-ul (1+2+3+4). Tetraktys-ul a fost gândit ca "număr ce cuprinde izvorul şi rădăcina veşnic curgătoarei naturii". Pentru a demonstra că 10 este perfecţiunea şi că exprimă universul, Pythagoras avea să adauge celor nouă cercuri (cer, Soarele, Luna, Pământ, Mercuriu, Venus, Martie, Jupiter şi Saturn) cel al zecelea – al Anti-Pământului (o invenţie arbitrară).

O semnificaţie aparte a avut numărul 36. El i-a impresionat pe pythagorieni foarte mult datorită proprietăţilor sale. Pe de o parte, el reprezintă suma cuburilor primelor trei numere (13+23+33), pe de altă – este suma primelor patru numere pare şi impare:

(2+4+6+8) + (1+3+5+7) = 36.

Conform părerii pythagorienilor toată lumea, a fost construită pe primele patru numere pare şi impare, de aceea cel mai groaznic jurământ se considera jurământul cu numărul 36.

Descoperirea faptului incomensurabilităţii laturii şi diagonalei pătratului a adus la prima criză. Doctrina lui Pythagoras, bazată pe numere întregi pozitive, nu putea să accepte existenţa altor numere. De aceea pythagorienii au jurat cu numărul 36, că vor păstra această descoperire în secret. S-a creat o legendă conform căreia Gippas de la Metapont (adeptul lui Pythagoras), care a încălcat jurământul, a fost "pedepsit de către zei" şi s-a pierdut în urma naufragiului.

Rezolvarea unei aşa probleme dificile ca construirea poligoanelor şi poliedrelor regulate i-a impresionat foarte mult pe cei, care au găsit soluţia, fiind că aceste figuri se considerau "cosmice". Fiecăreia i se atribuia denumirea unei stihii, incluse după părerea grecilor, în bazele existenţei: tetraedrul se chema foc, octaedrul – aer, icosaedrul – apă, hexaedrul – pământ, dodecaedrul – univers. Din toate corpurile geometrice cea mai perfectă a fost sfera. Pythagoras primul a ajuns la concluzie că Pământul are formă sferică, a stabilit un foc, însă nu Soarele, se află în centrul Universului, iar Pământul se roteşte în jurul lui pe o circumferinţă.

Pythagorismul admite existenţa a zece "principii" ca unele care germinează cosmosul: finitul şi infinitul, unul – pluritatea, repaus – mişcare, lumină – întuneric, bun – rău ş.a. Primele fiind pozitive, celelalte negative. Cosmosul (noţiunea se datorează lor) este armonie, tetraktys, perfecţiune, ordine, măsură. Un univers generat de număr (geometric, aritmetic), de principii polare (de limitat – nelimitat), comportă logic şi cu necesitatea, măsura. Măsura a fost corelată cu timpul oportun – "momentul potrivit" sau "potrivirea favorabilă".

Un loc important în doctrina pythagorismului a fost acordat sufletului şi, fireşte, comportării omului. "Pythagoras, – informează Diogene Laërtios, – mai spune că sufletul omului se împarte în trei: raţiune (nous), minte (phrenes) şi pasiune (thymos)". Sufletul este o existenţă în trei, o armonie a funcţiilor sale, o triadă, cum se vede, complexă. Sufletul este nemuritor prin minte, elelalte două (raţiune şi pasiune) fiind comune omului şi animalului. A fost adept frecvent al metempsihozei: sufletul călătoreşte după moartea omului, trece prin alte fiinţe, plante, etc, până să revină în om, aceasta ţinând, cumva, de practicile sale pământeşti. Conservând tradiţia şi chiar amplificându-i dimensiunea religioasă, pythagorienii au văzut sufletul peste tot, părându-li-se chiar, că tot văzduhul este plin de suflete, care trimit oamenilor visele, semnele de boală şi sănătate.

În "regulile" educaţiei fundamentate pe ideea despre suflet, intrau ca obligatorii: respectul zeului, respectul părinţilor, cultivarea prieteniei, a curajului, supunerea faţă de vârstnic şi superior. Au conceput un sistem diferenţial al educaţiei, luând în consideraţie vârsta: copiii să înveţe literele şi alte discipline; tinerii să deprindă rânduiala şi legile cetăţii, datine, bărbaţii să se consacre treburilor practice şi slujbelor cetăţeneşti; bătrânii să cugete cum ar fi mai bine, să ţină sfat şi să judece. Au dispreţuit disproporţia, dezordinea, anarhia.

Pythagorismul, astfel, este un aliaj intre ştiinţific şi magic, raţional şi mistic.
Însă ideologia, pusă în baza activităţii pythagorienilor, îi atrage după sine în pierire. Majoritatea adepţilor doctrinei au fost reprezentanţi ai aristocraţiei, în mâinile căreia era concentrată guvernarea în Crotona. Astfel ordinul a avut o influenţă mare în viaţa politică, servind intereselor aristocraţiei, pe când în Atena şi alte colonii greceşti s-a instaurat guvernare democratică. Cu timpul tendinţele democratice au început să predomine şi în Crotona. Pythagorienii au stârnit într-atât furia crotonaţilor, încât aceştea au dat foc cluburilor pythagorice şi "au ars de vii" cei adunaţi într-o locuinţă. Rămas viu, Pythagoras de la Crotona s-a retras în Metapont, unde fiind bătrân de optzeci de ani, a decăzut într-o ciocnire cu adversarii săi. Nu i-a ajutat lui nici experienţa bogată a luptei de pumn, primul campion olimpic în care el a fost cândva.

S-a sfârşit viaţa lui Pythagoras. Nu însă şi pythagorismul. Metafizica, ştiinţa şi viziunea despre educaţie au constituit motivele reale ale durabilităţii lui şi influenţei exercitate atât în ştiinţă, cât şi în metafizică.
Cu numele lui Pythagoras a fost numit un crater de pe partea vizibilă a Lunii.

Teorema lui Pitagora

Numai dreptunghic daca este
Un biet triunghi, nu e poveste,
Ci-n totdeauna este adevarat:
Ipotenuza la patrat
Egala este, neaparat,
Cu o cateta la patrat
Ce adunata trebuie-ndat
Cu cealalalta la patrat
 

Documentatie elaborata de Bogdan Gitita